Giải tích Ví dụ

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc chuỗi. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ x^{j} θ)]$

Bước 2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\log (1 - σ x^{j} θ)$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \log (σ) x^{j} θ$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ đối với $y$ là $- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- \log (1 - σ θ x^{j})$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ θ x^{j})$ đối với $y$ là $- \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - y^{j}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{j}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - \frac{d}{d y} [y^{j}])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - (j y^{j - 1}))$

Bước 4.6

Trừ $j y^{j - 1}$ khỏi $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (- j y^{j - 1})$

Bước 4.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + 1 \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Bước 4.8

Nhân $\log (1 - σ θ x^{j})$ với $1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$ .

$- j θ y^{j - 1} x^{j} \log (σ) + j y^{j - 1} \log (1 - σ θ x^{j})$