Giải tích Ví dụ

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{j} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- y^{j} \log (σ) θ$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ đối với $x$ là $- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ \frac{d}{d x} [x^{j}] + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + \frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- (1 - y^{j}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- (1 - y^{j})$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ x^{j} θ)$ đối với $x$ là $- (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) \frac{d}{d x} [\log (1 - σ x^{j} θ)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log (x)$ và $g (x) = 1 - σ x^{j} θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - σ x^{j} θ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\log (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} \frac{d}{d x} [1 - σ x^{j} θ])$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - σ x^{j} θ$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- σ x^{j} θ]))$

Bước 3.5

Vì $- σ θ$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- σ x^{j} θ$ đối với $x$ là $- σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ \frac{d}{d x} [x^{j}]))$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = j$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (0 - σ θ (j x^{j - 1})))$

Bước 3.7

Trừ $σ θ j x^{j - 1}$ khỏi $0$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} (- σ θ j x^{j - 1}))$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{1}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ và $σ$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} θ j x^{j - 1})$

Bước 3.9

Kết hợp $θ$ và $\frac{σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} j x^{j - 1})$

Bước 3.10

Kết hợp $j$ và $\frac{θ σ}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)} x^{j - 1})$

Bước 3.11

Kết hợp $x^{j - 1}$ và $\frac{j (θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) - (1 - y^{j}) (- \frac{x^{j - 1} (j (θ σ))}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)})$

Bước 3.12

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + 1 (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Bước 3.13

Nhân $1 - y^{j}$ với $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{(1 - σ x^{j} θ) \ln (10)}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{1 \ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Bước 4.2

Nhân $\ln (10)$ với $1$ .

$- y^{j} \log (σ) θ (j x^{j - 1}) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x^{j - 1} y^{j} j θ \log (σ) + (1 - y^{j}) \frac{x^{j - 1} (j θ σ)}{\ln (10) - σ x^{j} θ \ln (10)}$