Giải tích Ví dụ

$r = 4 \sin (θ) + 4 \cos (θ)$

Bước 1

Vì $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , nên thay $\sin (θ)$ bằng $\frac{y}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} + 4 \cos (θ)$

Bước 2

Vì $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , nên thay $\cos (θ)$ bằng $\frac{x}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r}$

Bước 3

Nhân cả hai vế với $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế với $r$ .

$r \cdot r = r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $r$ với $r$ .

$r^{2} = r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Kết hợp $4$ và $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{4 y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

Bước 3.3.1.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{4 y}{r} + \frac{4 x}{r})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r^{2} = r \frac{4 y}{r} + r \frac{4 x}{r}$

Bước 3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r^{2} = r \frac{4 y}{r} + r \frac{4 x}{r}$

Bước 3.3.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$r^{2} = 4 y + r \frac{4 x}{r}$

Bước 3.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r^{2} = 4 y + r \frac{4 x}{r}$

Bước 3.3.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$r^{2} = 4 y + 4 x$

Bước 4

Vì $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , nên thay $r^{2}$ bằng $x^{2} + y^{2}$ và $r$ bằng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 4 y + 4 x$

Bước 5

Viết ở dạng chính tắc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - 4 y = 4 x$

Bước 5.1.2

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - 4 y - 4 x = 0$

Bước 5.1.3

Di chuyển $- 4 y$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$

Bước 5.2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Bước 5.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Bước 5.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 5.2.3.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 5.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 4)}^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1.1.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.4

Nhân $4^{2}$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Bước 5.2.4.2.1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Bước 5.2.4.2.1.1.6.4

Chia $4$ cho $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 5.2.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 5.2.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 5.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Bước 5.3

Thay ${(x - 2)}^{2} - 4$ cho $x^{2} - 4 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 4 y = 0$

Bước 5.4

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} - 4 y = 0 + 4$

Bước 5.5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Bước 5.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Bước 5.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 5.5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Bước 5.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 5.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 5.5.3.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 5.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 4)}^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1.1.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.4

Nhân $4^{2}$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Bước 5.5.4.2.1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Bước 5.5.4.2.1.1.6.4

Chia $4$ cho $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 5.5.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 5.5.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 5.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

Bước 5.6

Thay ${(y - 2)}^{2} - 4$ cho $y^{2} - 4 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 0 + 4$

Bước 5.7

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0 + 4 + 4$

Bước 5.8

Rút gọn $0 + 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Cộng $0$ và $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 + 4$

Bước 5.8.2

Cộng $4$ và $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$