Giải tích Ví dụ

$12 \cos^{3} (2 x)$

Bước 1

Viết $12 \cos^{3} (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

Bước 4

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 6

Kết hợp $\cos^{3} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $12$ .

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8.2.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9

Đưa $\cos^{2} (u_{1})$ ra ngoài.

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 10

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Bước 11.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 14

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Bước 16

Rút gọn.

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (u_{1})$ .

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp $\sin^{3} (2 x)$ và $\frac{1}{3}$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Bước 18.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ vào tử số.

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Bước 18.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Bước 18.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Bước 18.3.4

Viết lại biểu thức.

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

Bước 18.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

Bước 19

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$