Giải tích Ví dụ

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 1

Viết $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 9

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Bước 11

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 12

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$