Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Bước 1

Viết $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Bước 4

Giả sử $x = 2 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.6

Viết lại $4 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2 \sec (t)$ ra ngoài $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 6

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Bước 7

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 9

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Bước 11

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 14

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Bước 15

Rút gọn.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (\frac{x}{2})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ là $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Bước 17.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Bước 17.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{x}{2}$ và $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Bước 17.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Bước 17.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Bước 17.1.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Bước 17.1.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Bước 17.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Bước 17.1.9

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Bước 17.1.10

Nhân $\frac{x + 2}{2}$ với $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Bước 17.1.11

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Bước 17.1.12

Viết lại $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.12.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Bước 17.1.12.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Bước 17.1.12.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Bước 17.1.13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Bước 17.1.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Bước 17.2

Để viết $- arcsec (\frac{x}{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Bước 17.3

Kết hợp $- arcsec (\frac{x}{2})$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Bước 17.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Bước 17.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Bước 17.5.2

Viết lại biểu thức.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Bước 17.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Bước 19

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ .

$F (x) =$ $- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$