Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\sqrt{x})}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (\sqrt{x}))}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.11

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.13

Nhân $2$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.15.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.15.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.15.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.15.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.15.2

Rút gọn $2 x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 3.16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x}}{2 x}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Bước 5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{2 x}$ với $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x (2 x)}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x \cdot x}$

Bước 5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x)}$

Bước 5.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})}$

Bước 5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{1 + 1}}$

Bước 5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{2}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Bước 8

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$0$