Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{20}$ và $g (x) = x^{2} - 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 10 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 20$ .

$7 (20 u^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 10 x$ .

$7 (20 {(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $20$ với $7$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 10 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

Bước 1.3.4

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 10 x$ đối với $x$ là $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \cdot 1)$

Bước 1.3.6

Nhân $- 10$ với $1$ .

$f' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $140$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$ đối với $x$ là $140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$ .

$140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ và $g (x) = 2 x - 10$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [2 x - 10] + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 10$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3.5

Vì $- 10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 10$ đối với $x$ là $0$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + 0) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \cdot 2 + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.3.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} - 10 x)}^{19}$ .

$140 (2 \cdot {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{19}$ và $g (x) = x^{2} - 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 10 x$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (\frac{d}{d u} [u^{19}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 19$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 u^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 10 x$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Di chuyển $19$ sang phía bên trái của $2 x - 10$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 \cdot (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Bước 2.5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 10 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

Bước 2.5.4

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 10 x$ đối với $x$ là $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \cdot 1))$

Bước 2.5.6

Nhân $- 10$ với $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10))$

Bước 2.6

Nâng $2 x - 10$ lên lũy thừa $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} (2 x - 10)) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.7

Nâng $2 x - 10$ lên lũy thừa $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} {(2 x - 10)}^{1}) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{1 + 1} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.9

Cộng $1$ và $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19}) + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.10.2

Nhân $2$ với $140$ .

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.10.3

Nhân $19$ với $140$ .

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 ({(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Bước 2.10.4

Đưa $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ ra ngoài $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.4.1

Đưa $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ ra ngoài $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$

Bước 2.10.4.2

Đưa $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ ra ngoài $2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$

Bước 2.10.4.3

Đưa $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ ra ngoài $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$ .

$f'' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$