Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Bước 2

Rút gọn hàm được tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ ở dạng $(4 + x) (4 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ở dạng ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Bước 2.2

Khai triển $(4 + x) (4 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Bước 2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Bước 2.3.1.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Bước 2.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Bước 2.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Bước 2.3.2

Cộng $- 4 x$ và $4 x$ .

$V = 16 + 0 - x^{2}$

Bước 2.3.3

Cộng $16$ và $0$ .

$V = 16 - x^{2}$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $16 x$ tại $4$ và tại $- 4$ .

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $- 4$ .

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $16$ với $4$ .

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Bước 7.2.3.2

Nhân $- 16$ với $- 4$ .

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Bước 7.2.3.3

Cộng $64$ và $64$ .

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Bước 7.2.3.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Bước 7.2.3.5

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Bước 7.2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Bước 7.2.3.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Bước 7.2.3.8

Nhân $\frac{64}{3}$ với $1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Bước 7.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Bước 7.2.3.10

Cộng $64$ và $64$ .

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

Bước 7.2.3.11

Để viết $128$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Bước 7.2.3.12

Kết hợp $128$ và $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Bước 7.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Bước 7.2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.14.1

Nhân $128$ với $3$ .

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

Bước 7.2.3.14.2

Trừ $128$ khỏi $384$ .

$V = π (\frac{256}{3})$

Bước 7.2.3.15

Kết hợp $π$ và $\frac{256}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

Bước 7.2.3.16

Di chuyển $256$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = \frac{256 π}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = \frac{256 π}{3}$

Dạng thập phân:

$V = 268.08257310 \dots$

Bước 9