Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Bước 1

Viết $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 108$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2.5

Vì $108$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $108$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3.1.2

Nhân $2$ với $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.2.1

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.1.6.3.2.2

Cộng $216 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $216$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ đối với $x$ là $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

Bước 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.3.3

Nhân ${(x^{2} + 108)}^{2}$ với $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 108$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.5.2

Đưa $x^{2} + 108$ ra ngoài ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Đưa $x^{2} + 108$ ra ngoài ${(x^{2} + 108)}^{2}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.5.2.2

Đưa $x^{2} + 108$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.5.2.3

Đưa $x^{2} + 108$ ra ngoài $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $x^{2} + 108$ ra ngoài ${(x^{2} + 108)}^{4}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 108$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.9

Vì $108$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $108$ đối với $x$ là $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.14

Cộng $1$ và $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.16

Kết hợp $216$ và $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.17.2.1

Nhân $- 3$ với $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.2.2

Nhân $216$ với $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.17.3.1

Đưa $648$ ra ngoài $- 648 x^{2} + 23328$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.17.3.1.1

Đưa $648$ ra ngoài $- 648 x^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.3.1.2

Đưa $648$ ra ngoài $23328$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.3.1.3

Đưa $648$ ra ngoài $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.3.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.3.3

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $6^{2}$ .

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.2.17.3.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 6$ và $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

Bước 3.3.2

Đặt $6 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đặt $6 + x$ bằng với $0$ .

$6 + x = 0$

Bước 3.3.2.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 6$

Bước 3.3.3

Đặt $6 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đặt $6 - x$ bằng với $0$ .

$6 - x = 0$

Bước 3.3.3.2

Giải $6 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 6$

Bước 3.3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 6$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 6$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Bước 3.3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Bước 3.3.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Bước 3.3.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.3.1

Chia $- 6$ cho $- 1$ .

$x = 6$

Bước 3.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ đúng.

$x = - 6, 6$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 6$ trong $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $36$ và $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

Bước 4.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $144$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Đưa $36$ ra ngoài $36$ .

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

Bước 4.1.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.2.1

Đưa $36$ ra ngoài $144$ .

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Bước 4.1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Bước 4.1.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

Bước 4.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 6$ trong $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ là $(- 6, \frac{1}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 6, \frac{1}{4})$

Bước 4.3

Thay $6$ trong $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

Bước 4.3.2.2.2

Cộng $36$ và $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

Bước 4.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $144$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Đưa $36$ ra ngoài $36$ .

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

Bước 4.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.2.1

Đưa $36$ ra ngoài $144$ .

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (6) = \frac{1}{4}$

Bước 4.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $6$ trong $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ là $(6, \frac{1}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(6, \frac{1}{4})$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 6)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Trừ $6.1$ khỏi $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 6.2.2.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Nhân $648$ với $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 6.2.2.3.2

Nhân $- 64.8$ với $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 6.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nâng $- 6.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Bước 6.2.3.2

Cộng $37.21$ và $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

Bước 6.2.3.3

Nâng $145.21$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

Bước 6.2.4

Chia $- 784.08$ cho $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

Bước 6.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Bước 6.3

Tại $- 6.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.00025607$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - 6)$

Giảm trên $(- \infty, - 6)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 6, 6)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2.1.2

Nâng $6 + 0$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2.1.3

Nâng $6 + 0$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $6$ và $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

Bước 7.2.3.2

Cộng $0$ và $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

Bước 7.2.3.3

Nâng $108$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

Bước 7.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nhân $648$ với $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

Bước 7.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $23328$ và $1259712$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Đưa $23328$ ra ngoài $23328$ .

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

Bước 7.2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.2.1

Đưa $23328$ ra ngoài $1259712$ .

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Bước 7.2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Bước 7.2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

Bước 7.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

Bước 7.3

Tại $0$ , đạo hàm bậc hai là $0.0\overline{185}$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 6, 6)$ .

Tăng trên $(- 6, 6)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(6, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $6.1$ trong biểu thức.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nhân $- 1$ với $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 8.2.2.2

Cộng $6$ và $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 8.2.2.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.1

Nhân $648$ với $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 8.2.2.3.2

Nhân $7840.8$ với $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Bước 8.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $6.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Bước 8.2.3.2

Cộng $37.21$ và $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

Bước 8.2.3.3

Nâng $145.21$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

Bước 8.2.4

Chia $- 784.07999999$ cho $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

Bước 8.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Bước 8.3

Tại $6.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.00025607$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(6, \infty)$

Giảm trên $(6, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Bước 10