Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.2.1

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2.2

Cộng $2 x^{2} - x^{2}$ và $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 2.3.2

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.3.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 1) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4

Tính $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Bước 4.1.2.1.2

Viết lại $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ ở dạng $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Bước 4.1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Cộng $1$ và $2$ .

$- (3 + 1)$

Bước 4.1.2.3.2

Cộng $3$ và $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Bước 4.1.2.3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ cho $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Bước 4.2.2.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$1 - 2 + 1$

Bước 4.2.2.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- 1 + 1$

Bước 4.2.2.3.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Bước 4.3.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Bước 5