Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $3$ và $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Bước 1.2

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Bước 2

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $i$ bằng $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Bước 3

Tính $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Bước 3.2

Tính $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Cộng $24$ và $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.2.1

Nhân $24$ với $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Bước 3.2.3.1.3

Cộng $48$ và $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Bước 3.2.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Nhân $600$ với $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Bước 3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Bước 3.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Bước 3.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{29400}{3}$

Bước 3.2.3.2.3

Chia $29400$ cho $3$ .

$9800$

Bước 3.3

Tính $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Cộng $24$ và $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Bước 3.3.3.2

Nhân $24$ với $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Bước 3.3.3.3

Chia $600$ cho $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Bước 3.3.3.4

Nhân $- 1$ với $300$ .

$- 300$

Bước 3.4

Tính $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 3.4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(11) (24)$

Bước 3.4.3

Nhân $11$ với $24$ .

$264$

Bước 3.5

Cộng các kết quả của tổng.

$9800 - 300 + 264$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Trừ $300$ khỏi $9800$ .

$9500 + 264$

Bước 3.6.2

Cộng $9500$ và $264$ .

$9764$

Bước 4

Tính $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.5

Cộng $1$ và $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.7

Nhân $2$ với $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.8

Nhân $- 1$ với $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.9

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.10

Cộng $6$ và $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.11

Cộng $12$ và $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.12

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.13

Nhân $2$ với $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.14

Nhân $- 1$ với $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.15

Trừ $3$ khỏi $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.16

Cộng $15$ và $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.17

Cộng $29$ và $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.18

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.19

Nhân $2$ với $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Bước 4.2.20

Nhân $- 1$ với $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Bước 4.2.21

Trừ $4$ khỏi $32$ .

$55 + 28 + 11$

Bước 4.2.22

Cộng $28$ và $11$ .

$55 + 39$

Bước 4.2.23

Cộng $55$ và $39$ .

$94$

Bước 5

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$9764 - 94$

Bước 6

Trừ $94$ khỏi $9764$ .

$9670$