Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{30} k (k + 1)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k \cdot k + k \cdot 1$

Bước 1.2

Nhân $k$ với $k$ .

$k^{2} + k \cdot 1$

Bước 1.3

Nhân $k$ với $1$ .

$k^{2} + k$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{2} + k$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{2} + k = \sum_{k = 1}^{30} k^{2} + \sum_{k = 1}^{30} k$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{30} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)$ .

$\frac{6 (5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1))}{6}$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 (5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1))}{6 (1)}$

Bước 3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 (5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1))}{6 \cdot 1}$

Bước 3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{1}$

Bước 3.3.1.2.4

Chia $5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)$ cho $1$ .

$5 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $30$ và $1$ .

$5 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)$

Bước 3.3.2.2

Nhân $5$ với $31$ .

$155 (2 \cdot 30 + 1)$

Bước 3.3.2.3

Nhân $2$ với $30$ .

$155 (60 + 1)$

Bước 3.3.2.4

Cộng $60$ và $1$ .

$155 \cdot 61$

Bước 3.3.2.5

Nhân $155$ với $61$ .

$9455$

Bước 4

Tính $\sum_{k = 1}^{30} k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{30 (30 + 1)}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $30 (30 + 1)$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2}$

Bước 4.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 (1)}$

Bước 4.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15 (30 + 1)}{1}$

Bước 4.3.1.2.4

Chia $15 (30 + 1)$ cho $1$ .

$15 (30 + 1)$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Cộng $30$ và $1$ .

$15 \cdot 31$

Bước 4.3.2.2

Nhân $15$ với $31$ .

$465$

Bước 5

Cộng các kết quả của tổng.

$9455 + 465$

Bước 6

Cộng $9455$ và $465$ .

$9920$