Giải tích Ví dụ

${(\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}] + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 6.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 6.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 8

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 11

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 12

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot 0)$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ với $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 0)$

Bước 13.2

Cộng $- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ và $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Nhân $- \sin (x)$ với $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.1.3

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.3.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.1.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- \sin (x) - 1$ và ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (x)) - 1 (1)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3.1.4

Viết lại $- (\sin (x) + 1)$ ở dạng $- 1 (\sin (x) + 1)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3.1.6

Đưa $1 + \sin (x)$ ra ngoài $- 1 (1 + \sin (x))$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Bước 14.3.1.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.7.1

Đưa $1 + \sin (x)$ ra ngoài ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

Bước 14.3.1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

Bước 14.3.1.7.3

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1}{1 + \sin (x)})$

Bước 14.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- - \frac{1}{1 + \sin (x)})$

Bước 14.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (1 \frac{1}{1 + \sin (x)})$

Bước 14.3.4

Nhân $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ với $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Bước 15

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}) \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Bước 15.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Bước 15.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Bước 15.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Bước 15.5

Nhân $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ với $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Bước 15.6

Nâng $1 + \sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x))}$

Bước 15.7

Nâng $1 + \sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1}}$

Bước 15.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1 + 1}}$

Bước 15.9

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$