Giải tích Ví dụ

$(2 x + 1) (2 x - 1)$

Bước 1

Viết $(2 x + 1) (2 x - 1)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int (2 x + 1) (2 x - 1) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.4

Di chuyển $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.5

Di chuyển $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.12

Nhân $2$ với $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1 d x$

Bước 4.14

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$\int 4 x^{2} + 0 - 1 d x$

Bước 4.15

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\int 4 x^{2} - 1 d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

$\frac{4 x^{3}}{3} - x + C$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{3} x^{3} - x + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} - x + C$