Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ , $y = x^{2} - 3$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$

Bước 1.2

Giải $x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} = - 3$

Bước 1.2.1.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$

Bước 1.2.2

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$u^{2} - 5 u + 1 = - 3$

$u = x^{2} + y = x^{2} - 3$

Bước 1.2.3

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u^{2} - 5 u + 1 + 3 = 0$

Bước 1.2.4

Cộng $1$ và $3$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Bước 1.2.5

Phân tích $u^{2} - 5 u + 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $4$ và tổng của chúng là $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 3$

Bước 1.2.5.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Bước 1.2.6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0 + y = x^{2} - 3$

Bước 1.2.7

Đặt $u - 4$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đặt $u - 4$ bằng với $0$ .

$u - 4 = 0$

Bước 1.2.7.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 4$

Bước 1.2.8

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 1.2.8.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 1.2.9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 4) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = 4, 1$

Bước 1.2.10

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 4$

$x^{2} = 1 + y = x^{2} - 3$

Bước 1.2.11

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = 4$

Bước 1.2.12

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 1.2.12.2

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 1.2.12.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 1.2.12.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 1.2.12.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 1.2.12.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 1.2.13

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Bước 1.2.14

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.14.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = 1$

Bước 1.2.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 1.2.14.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 1.2.14.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.14.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 1.2.14.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 1.2.14.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 1.2.15

Đáp án cho $x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$ là $x = 2, - 2, 1, - 1$ .

$x = 2, - 2, 1, - 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 3$

Bước 1.3.2

Thế $2$ vào $x$ trong $y = {(2)}^{2} - 3$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2^{2} - 3$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $2^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 4 - 3$

Bước 1.3.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$y = 1$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 3$

Bước 1.4.2

Thế $1$ vào $x$ trong $y = {(1)}^{2} - 3$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 1^{2} - 3$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn $1^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = 1 - 3$

Bước 1.4.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$y = - 2$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 2$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Bước 3.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Bước 3.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $x^{2}$ và $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Bước 3.3.2

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Bước 3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.10

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Bước 3.11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Bước 3.12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$5 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Bước 3.12.2

Tính $\frac{x^{5}}{5}$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Bước 3.12.3

Tính $- 4 x$ tại $- 1$ và tại $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$5 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.6

Nhân $\frac{8}{3}$ với $1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{- 1 + 8}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.8

Cộng $- 1$ và $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.9

Kết hợp $5$ và $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.10

Nhân $5$ với $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{- 1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.13

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{- 32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - - \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + 1 (\frac{32}{5})) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.16

Nhân $\frac{32}{5}$ với $1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35}{3} - \frac{- 1 + 32}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.18

Cộng $- 1$ và $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.19

Để viết $\frac{35}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.20

Để viết $- \frac{31}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.21

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.21.1

Nhân $\frac{35}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.21.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.21.3

Nhân $\frac{31}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.21.4

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.23.1

Nhân $35$ với $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.23.2

Nhân $- 31$ với $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.23.3

Trừ $93$ khỏi $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.24

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\frac{82}{15} + 4 + 4 \cdot - 2$

Bước 3.12.4.25

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{82}{15} + 4 - 8$

Bước 3.12.4.26

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Bước 3.12.4.27

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Bước 3.12.4.28

Kết hợp $- 4$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Bước 3.12.4.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Bước 3.12.4.30

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.4.30.1

Nhân $- 4$ với $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Bước 3.12.4.30.2

Trừ $60$ khỏi $82$ .

$\frac{22}{15}$

Bước 4

$A r e a = \int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 3 d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - (x^{2} - 3) d x$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} - - 3$

Bước 5.2.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3 d x$

Bước 5.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 + 3$

Bước 5.3.2

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 5 x^{2} + 4 d x$

Bước 5.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Bước 5.6

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Bước 5.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Bước 5.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Bước 5.9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Bước 5.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Kết hợp $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}$ và $4 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + 4 x]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Bước 5.10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1

Tính $\frac{1}{5} x^{5} + 4 x$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Bước 5.10.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.4

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.7.1

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{1 + 20}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.7.2

Cộng $1$ và $20$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1 + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.9

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{- 1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.11

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.12

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.13

Kết hợp $- 4$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 4 \cdot 5}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.15.1

Nhân $- 4$ với $5$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 20}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.15.2

Trừ $20$ khỏi $- 1$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{21}{5} - - \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.17

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{21}{5} + 1 (\frac{21}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.18

Nhân $\frac{21}{5}$ với $1$ .

$\frac{21}{5} + \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21 + 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.20

Cộng $21$ và $21$ .

$\frac{42}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.21

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 5.10.2.3.22

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Bước 5.10.2.3.23

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Bước 5.10.2.3.24

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Bước 5.10.2.3.25

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 5.10.2.3.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{42}{5} - 5 \frac{1 + 1}{3}$

Bước 5.10.2.3.27

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{2}{3})$

Bước 5.10.2.3.28

Kết hợp $- 5$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 5 \cdot 2}{3}$

Bước 5.10.2.3.29

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 10}{3}$

Bước 5.10.2.3.30

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{42}{5} - \frac{10}{3}$

Bước 5.10.2.3.31

Để viết $\frac{42}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Bước 5.10.2.3.32

Để viết $- \frac{10}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 5.10.2.3.33

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.33.1

Nhân $\frac{42}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 5.10.2.3.33.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 5.10.2.3.33.3

Nhân $\frac{10}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Bước 5.10.2.3.33.4

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15}$

Bước 5.10.2.3.34

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{42 \cdot 3 - 10 \cdot 5}{15}$

Bước 5.10.2.3.35

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.35.1

Nhân $42$ với $3$ .

$\frac{126 - 10 \cdot 5}{15}$

Bước 5.10.2.3.35.2

Nhân $- 10$ với $5$ .

$\frac{126 - 50}{15}$

Bước 5.10.2.3.35.3

Trừ $50$ khỏi $126$ .

$\frac{76}{15}$

Bước 6

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} - 3 d x - \int_{1}^{2} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Bước 7

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $1$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Bước 7.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Bước 7.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Bước 7.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Cộng $x^{2}$ và $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Bước 7.3.2

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Bước 7.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.10

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Bước 7.11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Bước 7.12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $1$ .

$5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Bước 7.12.2

Tính $\frac{x^{5}}{5}$ tại $2$ và tại $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Bước 7.12.3

Tính $- 4 x$ tại $2$ và tại $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.4

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.5

Kết hợp $5$ và $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.6

Nhân $5$ với $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35}{3} - \frac{32 - 1}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.10

Trừ $1$ khỏi $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.11

Để viết $\frac{35}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.12

Để viết $- \frac{31}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.13

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.4.13.1

Nhân $\frac{35}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.13.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.13.3

Nhân $\frac{31}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.13.4

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.4.15.1

Nhân $35$ với $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.15.2

Nhân $- 31$ với $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.15.3

Trừ $93$ khỏi $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.16

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4 \cdot 1$

Bước 7.12.4.17

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4$

Bước 7.12.4.18

Cộng $- 8$ và $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Bước 7.12.4.19

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Bước 7.12.4.20

Kết hợp $- 4$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Bước 7.12.4.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Bước 7.12.4.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.4.22.1

Nhân $- 4$ với $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Bước 7.12.4.22.2

Trừ $60$ khỏi $82$ .

$\frac{22}{15}$

Bước 8

Cộng các diện tích $\frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{22 + 76 + 22}{15}$

Bước 8.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $22$ và $76$ .

$\frac{98 + 22}{15}$

Bước 8.2.2

Cộng $98$ và $22$ .

$\frac{120}{15}$

Bước 8.2.3

Chia $120$ cho $15$ .

$8$

Bước 9