Giải tích Ví dụ

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{5}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{5}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Bước 1.2.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $5$ với $3$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Bước 1.2.7

Nhân $- 1$ với $15$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $- 15$ .

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{- 15}{x^{2}}$ và ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.3.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + 5}{x}$ .

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Kết hợp $15$ và $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Bước 1.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1.3.6

Kết hợp.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Bước 1.3.7

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Bước 1.3.7.2

Cộng $2$ và $2$ .

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Bước 1.3.8

Nhân $15 {(x + 5)}^{2}$ với $1$ .

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ đối với $x$ là $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ và $g (x) = x^{4}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 5$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.5.3

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.5.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Bước 2.5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.5.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Bước 2.5.6.2

Kết hợp $- 15$ và $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.5.6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.3

Nhân $2$ với $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.4

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.5

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.6

Nhân $10$ với $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.7

Viết lại ${(x + 5)}^{2}$ ở dạng $(x + 5) (x + 5)$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.8

Khai triển $(x + 5) (x + 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.9.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.9.1.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.9.1.3

Nhân $5$ với $5$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.9.2

Cộng $5 x$ và $5 x$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.11.1

Nhân $10$ với $- 4$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.11.2

Nhân $- 4$ với $25$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.12

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.13.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.13.1.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13.1.3

Cộng $3$ và $2$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.13.2.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13.2.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.13.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.13.2.3

Cộng $3$ và $1$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1.15.1

Nhân $- 4$ với $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.15.2

Nhân $- 40$ với $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.1.15.3

Nhân $- 100$ với $15$ .

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.2

Trừ $60 x^{5}$ khỏi $30 x^{5}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Bước 2.6.4.3

Trừ $600 x^{4}$ khỏi $150 x^{4}$ .

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Bước 2.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.1

Đưa $30 x^{3}$ ra ngoài $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.1.1

Đưa $30 x^{3}$ ra ngoài $- 30 x^{5}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.1.2

Đưa $30 x^{3}$ ra ngoài $- 450 x^{4}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.1.3

Đưa $30 x^{3}$ ra ngoài $- 1500 x^{3}$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.1.4

Đưa $30 x^{3}$ ra ngoài $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.1.5

Đưa $30 x^{3}$ ra ngoài $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ và có tổng là $b = - 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.2.1.1

Đưa $- 15$ ra ngoài $- 15 x$ .

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.2.1.2

Viết lại $- 15$ ở dạng $- 5$ cộng $- 10$

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

Bước 2.6.5.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x - 5$ .

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

Bước 2.6.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.6.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

Bước 2.6.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.6.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Bước 2.6.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

Bước 2.6.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.8

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (5)$ .

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.10

Viết lại $- (x + 5)$ ở dạng $- 1 (x + 5)$ .

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.12

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.13

Nhân $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ với $1$ .

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 2.6.14

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $30$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ đối với $x$ là $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

Bước 3.2

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Bước 3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Bước 3.3.2

Nhân $5$ với $2$ .

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 5$ và $g (x) = x + 10$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 10$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.3

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.4.2

Nhân $x + 5$ với $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.7

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.8.2

Nhân $x + 10$ với $1$ .

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.8.3

Cộng $x$ và $x$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.8.4

Cộng $5$ và $10$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 3.5.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Bước 3.5.10

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.10.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Bước 3.5.10.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.10.2.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{5} (2 x + 15)$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

Bước 3.5.10.2.2

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Bước 3.5.10.2.3

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

Bước 3.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{10}$ .

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

Bước 3.7

Kết hợp $30$ và $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ .

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.3

Nhân $2$ với $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.4

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.5

Nhân $15$ với $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.6

Nhân $- 5$ với $5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.7

Khai triển $(- 5 x - 25) (x + 10)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.8.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.8.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.8.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.8.1.2

Nhân $10$ với $- 5$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.8.1.3

Nhân $- 25$ với $10$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.8.2

Trừ $25 x$ khỏi $- 50 x$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1.10.1

Nhân $- 5$ với $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.10.2

Nhân $- 75$ với $30$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.1.10.3

Nhân $30$ với $- 250$ .

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.2

Trừ $150 x^{2}$ khỏi $60 x^{2}$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

Bước 3.8.4.3

Trừ $2250 x$ khỏi $450 x$ .

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Bước 3.8.5

Đưa $30$ ra ngoài $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.5.1

Đưa $30$ ra ngoài $- 90 x^{2}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

Bước 3.8.5.2

Đưa $30$ ra ngoài $- 1800 x$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

Bước 3.8.5.3

Đưa $30$ ra ngoài $- 7500$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.5.4

Đưa $30$ ra ngoài $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.5.5

Đưa $30$ ra ngoài $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 60 x$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - (60 x)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

Bước 3.8.9

Viết lại $- 250$ ở dạng $- 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

Bước 3.8.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ .

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Bước 3.8.11

Viết lại $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ .

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

Bước 3.8.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$