Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{9} \cot (3 x - 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{9} \cdot \cot (3 x - 1)$ đối với $x$ là $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 1)]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\cot (3 x - 1)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 1$ .

$\frac{1}{9} (- \csc^{2} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $\csc^{2} (3 x - 1)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} (3 + 0)$

Bước 1.3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Cộng $3$ và $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9} \cdot 3$

Bước 1.3.7.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9}$

Bước 1.3.7.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{9}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 x - 1)}{9}$

Bước 1.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{9}$

Bước 1.3.7.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{3 (3)}$

Bước 1.3.7.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- \csc^{2} (3 x - 1))}{3 \cdot 3}$

Bước 1.3.7.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

Bước 1.3.7.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{\csc^{2} (3 x - 1)}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \csc (3 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (3 x - 1)$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (3 x - 1)$ .

$- \frac{1}{3} (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) (\csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 2.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} (\csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\csc (3 x - 1)$ và $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\csc (3 x - 1) \cdot - 2}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)]$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\csc (3 x - 1)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (3 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)]$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 3 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x - 1$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x - 1$ .

$- \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.5.2

Nhân $\frac{2 \csc (3 x - 1)}{3}$ với $1$ .

$\frac{2 \csc (3 x - 1)}{3} (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.5.3

Kết hợp $\csc (3 x - 1)$ và $\frac{2 \csc (3 x - 1)}{3}$ .

$\frac{\csc (3 x - 1) (2 \csc (3 x - 1))}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.6

Nâng $\csc (3 x - 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1))}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.7

Nâng $\csc (3 x - 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1))}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1}}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (\cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Bước 2.9.2

Kết hợp $\cot (3 x - 1)$ và $\frac{2 \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$ .

$\frac{\cot (3 x - 1) (2 \csc^{2} (3 x - 1))}{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Bước 2.9.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cot (3 x - 1)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Bước 2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.11

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.13

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.14

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} (3 + 0)$

Bước 2.15

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3} \cdot 3$

Bước 2.15.2

Kết hợp $\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$ và $3$ .

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1) \cdot 3}{3}$

Bước 2.15.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{3}$

Bước 2.15.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1))}{3}$

Bước 2.15.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1))}{3 (1)}$

Bước 2.15.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1))}{3 \cdot 1}$

Bước 2.15.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)}{1}$

Bước 2.15.4.2.4

Chia $2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$ cho $1$ .

$2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$

Bước 2.15.5

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \cot (3 x - 1) \csc^{2} (3 x - 1)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$