Giải tích Ví dụ

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Bước 3.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{π}{3}$ trong $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 4.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 4.1.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 4.1.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 4.1.2.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Bước 4.1.2.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 4.1.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Bước 4.1.2.2.3

Cộng $4$ và $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{π}{3}$ trong $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ là $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{π}{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.94719755$ trong biểu thức.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Bước 6.3

Tại $0.94719755$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.53195951$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{π}{3})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{π}{3})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π}{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.14719755$ trong biểu thức.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Bước 7.3

Tại $1.14719755$ , đạo hàm bậc hai là $0.50208433$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{π}{3}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Bước 9