Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 10$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 10$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.4

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.5.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x + 10) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 2 (x + 10) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x + 10) x}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (x + 10) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x (- 2 (x + 10))$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x^{4}}$

Bước 1.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x - 2 (x + 10))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 1.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x - 2 (x + 10)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 10}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Nhân $- 2$ với $10$ .

$\frac{x - 2 x - 20}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.2.2

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) - 20}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.4

Viết lại $- 20$ ở dạng $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x) - 1 (20)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x + 20)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.6

Viết lại $- (x + 20)$ ở dạng $- 1 (x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x + 20)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x + 20}{x^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x + 20}{x^{3}}$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{x + 20}{x^{3}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x + 20 = 0$

Bước 2.3

Trừ $20$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 20$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $- 20$ .

$- 20$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 20}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 20) \cup (- 20, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 20)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 21$ trong biểu thức.

$f' (- 21) = - \frac{(- 21) + 20}{{(- 21)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng $- 21$ và $20$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{{(- 21)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 21$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 21) = - \frac{- 1}{- 9261}$

Bước 6.2.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$f' (- 21) = - \frac{1}{9261}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{9261}$ .

$- \frac{1}{9261}$

Bước 6.3

Tại $x = - 21$ đạo hàm là $- \frac{1}{9261}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 20)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 20)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 20, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 10$ trong biểu thức.

$f' (- 10) = - \frac{(- 10) + 20}{{(- 10)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Cộng $- 10$ và $20$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{{(- 10)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 10) = - \frac{10}{- 1000}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $- 1000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 (1)}{- 1000}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $- 1000$ .

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Bước 7.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 10) = - \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot - 100}$

Bước 7.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 10) = - \frac{1}{- 100}$

Bước 7.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 10) = \frac{1}{100}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{100}$ .

$\frac{1}{100}$

Bước 7.3

Tại $x = - 10$ đạo hàm là $\frac{1}{100}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 20, 0)$ .

Tăng trên $(- 20, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{(1) + 20}{{(1)}^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $1$ và $20$ .

$f' (1) = - \frac{21}{1^{3}}$

Bước 8.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{21}{1}$

Bước 8.2.3

Chia $21$ cho $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 21$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $21$ .

$f' (1) = - 21$

Bước 8.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 21$ .

$- 21$

Bước 8.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 21$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, \infty)$ .

Giảm trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 20, 0)$

Giảm trên: $(- \infty, - 20), (0, \infty)$

Bước 10