Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{x} + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Bước 1.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, x^{2}, 1$

Bước 2.2.2

Vì $x, x^{2}, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $1, 1, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{1}, x^{2}$ .

Bước 2.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.2.5

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 2.2.6

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.2.7

Các thừa số cho $x^{2}$ là $x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $2$ lần.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ xảy ra $2$ lần.

Bước 2.2.8

BCNN của $x^{1}, x^{2}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x \cdot x$

Bước 2.2.9

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2}$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2}}$ vào tử số.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x - 1 = 0 x^{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 3.2

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3.3.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.3.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4

Tính $\frac{1}{x} + \ln (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{1}{1} + \ln (1)$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Chia $1$ cho $1$ .

$1 + \ln (1)$

Bước 4.1.2.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{1}{0} + \ln (0)$

Bước 4.2.2

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, 1)$

Bước 5