Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 5$

Bước 1

Để tìm thể tích của vật rắn, trước tiên hãy xác định diện tích của mỗi lát cắt sau đó lấy tích phân trên khoảng biến thiên. Diện tích của mỗi lát cắt là diện tích của một đường tròn có bán kính $f (x)$ và $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ trong đó $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Bước 2

Viết lại ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ ở dạng $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$V = x - 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

$V = x - 1$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$V = π (\int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - 1 d x)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5} + - x]_{1}^{5})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}$ và $- x]_{1}^{5}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{5}$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2} - x$ tại $5$ và tại $1$ .

$V = π ((\frac{5^{2}}{2} - 1 \cdot 5) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 1 \cdot 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.3

Để viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{25 - 5 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.6.1

Nhân $- 5$ với $2$ .

$V = π (\frac{25 - 10}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.6.2

Trừ $10$ khỏi $25$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Bước 7.2.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1))$

Bước 7.2.2.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Bước 7.2.2.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{15}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Bước 7.2.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Bước 7.2.2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{1 - 2}{2})$

Bước 7.2.2.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} - \frac{- 1}{2})$

Bước 7.2.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 7.2.2.14

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Bước 7.2.2.15

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$V = π (\frac{15}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 7.2.2.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$V = π (\frac{15 + 1}{2})$

Bước 7.2.2.17

Cộng $15$ và $1$ .

$V = π (\frac{16}{2})$

Bước 7.2.2.18

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2})$

Bước 7.2.2.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Bước 7.2.2.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Bước 7.2.2.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$V = π (\frac{8}{1})$

Bước 7.2.2.18.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$V = π \cdot 8$

Bước 7.2.2.19

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $π$ .

$V = 8 π$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$V = 8 π$

Dạng thập phân:

$V = 25.13274122 \dots$

Bước 9