Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 64$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 64$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (64) + f' (64) (x - 64)$

Bước 3

Tính $f (64)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $64$ trong biểu thức.

$f (64) = {(64)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.2

Rút gọn ${(64)}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

${(64)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

${(4^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$4^{2}$

Bước 3.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$16$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 4.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 4.1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 4.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Bước 4.1.5.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Bước 4.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Bước 4.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.1.7.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $64$ trong biểu thức.

$\frac{2}{3 {(64)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 4.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 4.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3 \cdot 4^{1}}$

Bước 4.3.1.4

Tính số mũ.

$\frac{2}{3 \cdot 4}$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{2}{12}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{12}$

Bước 4.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Bước 4.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Bước 4.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} (x - 64)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$L (x) = 16 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Bước 6.1.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Bước 6.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 64$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Bước 6.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Bước 6.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Bước 6.1.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 32$ .

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Bước 6.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$L (x) = 16 + \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Bước 6.2

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Bước 6.3

Kết hợp $16$ và $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Bước 6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $16$ với $3$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{48 - 32}{3}$

Bước 6.5.2

Trừ $32$ khỏi $48$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Bước 7