Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{7}{3}} + 56 x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $7$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [56 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $56$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $56 x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Bước 1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Bước 1.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1.3.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + 56 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.3.8

Kết hợp $56$ và $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{56 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Bước 1.3.9

Nhân $4$ với $56$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.4

Kết hợp $\frac{7}{3}$ và $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{7}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.8

Nhân $\frac{7}{3}$ với $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.9

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.2.10

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{224}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{224 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 2.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 2.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 2.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 2.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 2.3.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 2.3.9

Nhân $\frac{224}{3}$ với $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Bước 2.3.10

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Bước 2.3.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{224}{9 x^{\frac{2}{3}}}$