Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 81$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Vì $81$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $81$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3.1.2

Nhân $2$ với $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.3.2.1

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.1.6.3.2.2

Cộng $162 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$162 x = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $162 x = 0$ cho $162$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $162 x = 0$ cho $162$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $162$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $162$ .

$x = 0$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $162$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $1$ và $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Nâng $82$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Bước 5.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 162$ và $6724$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Bước 5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Bước 5.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- \frac{81}{3362}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $162$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $1$ và $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $82$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $162$ và $6724$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Bước 6.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $\frac{81}{3362}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 0)$

Bước 8