Giải tích Ví dụ

$f (x) = 6 x^{2} {(14 + x)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại ${(14 + x)}^{2}$ ở dạng $(14 + x) (14 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} ((14 + x) (14 + x))]$

Bước 1.1.2

Khai triển $(14 + x) (14 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (14 (14 + x) + x (14 + x))]$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x (14 + x))]$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Bước 1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Nhân $14$ với $14$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Bước 1.1.3.1.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 14 x + 14 \cdot x + x \cdot x)]$

Bước 1.1.3.1.3

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 14 x + 14 x + x^{2})]$

Bước 1.1.3.2

Cộng $14 x$ và $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Bước 1.1.4

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 196 + 28 x + x^{2}$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [196 + 28 x + x^{2}] + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $196 + 28 x + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.2

Vì $196$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $196$ đối với $x$ là $0$ .

$6 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.4

Vì $28$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $28 x$ đối với $x$ là $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 (x^{2} (28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.6

Nhân $28$ với $1$ .

$6 (x^{2} (28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.6.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) (2 x))$

Bước 1.1.6.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $196 + 28 x + x^{2}$ .

$6 (x^{2} (28 + 2 x) + 2 \cdot (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Bước 1.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Bước 1.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 196 + 2 (28 x) + 2 x^{2}) x)$

Bước 1.1.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot 196 x + 2 (28 x) x + 2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (x^{2} \cdot 28) + 6 (x^{2} (2 x)) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.5.1

Di chuyển $28$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$6 (28 \cdot x^{2}) + 6 (x^{2} (2 x)) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.2

Nhân $28$ với $6$ .

$168 x^{2} + 6 (x^{2} (2 x)) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.5.3.1

Di chuyển $x$ .

$168 x^{2} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.5.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$168 x^{2} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$168 x^{2} + 6 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$168 x^{2} + 6 (x^{3} \cdot 2) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$168 x^{2} + 6 (2 \cdot x^{3}) + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.5

Nhân $2$ với $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 6 (2 \cdot 196 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.6

Nhân $2$ với $196$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 6 (392 x) + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.7

Nhân $392$ với $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (2 (28 x) x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.8

Nhân $28$ với $2$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 x \cdot x) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 (x^{1} x)) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.10

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 (x^{1} x^{1})) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 x^{1 + 1}) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.12

Cộng $1$ và $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 6 (56 x^{2}) + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.13

Nhân $56$ với $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 x^{2} x)$

Bước 1.1.7.5.14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 (x^{1} x^{2}))$

Bước 1.1.7.5.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 x^{1 + 2})$

Bước 1.1.7.5.16

Cộng $1$ và $2$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 6 (2 x^{3})$

Bước 1.1.7.5.17

Nhân $2$ với $6$ .

$168 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 336 x^{2} + 12 x^{3}$

Bước 1.1.7.5.18

Cộng $168 x^{2}$ và $336 x^{2}$ .

$504 x^{2} + 12 x^{3} + 2352 x + 12 x^{3}$

Bước 1.1.7.5.19

Cộng $12 x^{3}$ và $12 x^{3}$ .

$504 x^{2} + 24 x^{3} + 2352 x$

Bước 1.1.7.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$ .

$24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $24 x$ ra ngoài $24 x^{3} + 504 x^{2} + 2352 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $24 x$ ra ngoài $24 x^{3}$ .

$24 x (x^{2}) + 504 x^{2} + 2352 x = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $24 x$ ra ngoài $504 x^{2}$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (21 x) + 2352 x = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $24 x$ ra ngoài $2352 x$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (21 x) + 24 x (98) = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $24 x$ ra ngoài $24 x (x^{2}) + 24 x (21 x)$ .

$24 x (x^{2} + 21 x) + 24 x (98) = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $24 x$ ra ngoài $24 x (x^{2} + 21 x) + 24 x (98)$ .

$24 x (x^{2} + 21 x + 98) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích $x^{2} + 21 x + 98$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $98$ và tổng của chúng là $21$ .

$7, 14$

Bước 2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$24 x ((x + 7) (x + 14)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$24 x (x + 7) (x + 14) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x + 14 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $x + 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x + 7$ bằng với $0$ .

$x + 7 = 0$

Bước 2.5.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 7$

Bước 2.6

Đặt $x + 14$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x + 14$ bằng với $0$ .

$x + 14 = 0$

Bước 2.6.2

Trừ $14$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 14$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $24 x (x + 7) (x + 14) = 0$ đúng.

$x = 0, - 7, - 14$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, - 7, - 14$ .

$0, - 7, - 14$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 14) \cup (- 14, - 7) \cup (- 7, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 14)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 15$ trong biểu thức.

$f' (- 15) = 24 {(- 15)}^{3} + 504 {(- 15)}^{2} + 2352 (- 15)$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 15$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 15) = 24 \cdot - 3375 + 504 {(- 15)}^{2} + 2352 (- 15)$

Bước 5.2.1.2

Nhân $24$ với $- 3375$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 504 {(- 15)}^{2} + 2352 (- 15)$

Bước 5.2.1.3

Nâng $- 15$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 504 \cdot 225 + 2352 (- 15)$

Bước 5.2.1.4

Nhân $504$ với $225$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 113400 + 2352 (- 15)$

Bước 5.2.1.5

Nhân $2352$ với $- 15$ .

$f' (- 15) = - 81000 + 113400 - 35280$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $- 81000$ và $113400$ .

$f' (- 15) = 32400 - 35280$

Bước 5.2.2.2

Trừ $35280$ khỏi $32400$ .

$f' (- 15) = - 2880$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2880$ .

$- 2880$

Bước 5.3

Tại $x = - 15$ đạo hàm là $- 2880$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 14)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 14)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 14, - 7)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{21}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 {(- \frac{21}{2})}^{3} + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21}{2})}^{3}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{21^{3}}{2^{3}})) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (- \frac{21^{3}}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.3

Nâng $21$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (- \frac{9261}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (- \frac{9261}{8}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{9261}{8}$ vào tử số.

$f' (- \frac{21}{2}) = 24 (\frac{- 9261}{8}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.5.2

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (3) (\frac{- 9261}{8}) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 9261}{8})) + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{21}{2}) = 3 \cdot - 9261 + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.6

Nhân $3$ với $- 9261$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 ({(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (1 (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.9

Nhân $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (\frac{21^{2}}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.10

Nâng $21$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (\frac{441}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 504 (\frac{441}{4}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.12.1

Đưa $4$ ra ngoài $504$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 4 (126) (\frac{441}{4}) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 4 \cdot (126 (\frac{441}{4})) + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.12.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 126 \cdot 441 + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.13

Nhân $126$ với $441$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2352 (- \frac{21}{2})$

Bước 6.2.1.14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.14.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{21}{2}$ vào tử số.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2352 (\frac{- 21}{2})$

Bước 6.2.1.14.2

Đưa $2$ ra ngoài $2352$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2 (1176) (\frac{- 21}{2})$

Bước 6.2.1.14.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 2 \cdot (1176 (\frac{- 21}{2}))$

Bước 6.2.1.14.4

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 + 1176 \cdot - 21$

Bước 6.2.1.15

Nhân $1176$ với $- 21$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 27783 + 55566 - 24696$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Cộng $- 27783$ và $55566$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 27783 - 24696$

Bước 6.2.2.2

Trừ $24696$ khỏi $27783$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 3087$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3087$ .

$3087$

Bước 6.3

Tại $x = - \frac{21}{2}$ đạo hàm là $3087$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 14, - 7)$ .

Tăng trên $(- 14, - 7)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 7, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{7}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (- \frac{343}{2^{3}}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (- \frac{343}{8}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{343}{8}$ vào tử số.

$f' (- \frac{7}{2}) = 24 (\frac{- 343}{8}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.5.2

Đưa $8$ ra ngoài $24$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (3) (\frac{- 343}{8}) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 343}{8})) + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{7}{2}) = 3 \cdot - 343 + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.6

Nhân $3$ với $- 343$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.9

Nhân $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.10

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (\frac{49}{2^{2}}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 504 (\frac{49}{4}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.12.1

Đưa $4$ ra ngoài $504$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 4 (126) (\frac{49}{4}) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 4 \cdot (126 (\frac{49}{4})) + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.12.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 126 \cdot 49 + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.13

Nhân $126$ với $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2352 (- \frac{7}{2})$

Bước 7.2.1.14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.14.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{7}{2}$ vào tử số.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2352 (\frac{- 7}{2})$

Bước 7.2.1.14.2

Đưa $2$ ra ngoài $2352$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2 (1176) (\frac{- 7}{2})$

Bước 7.2.1.14.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 2 \cdot (1176 (\frac{- 7}{2}))$

Bước 7.2.1.14.4

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 + 1176 \cdot - 7$

Bước 7.2.1.15

Nhân $1176$ với $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029 + 6174 - 8232$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Cộng $- 1029$ và $6174$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 5145 - 8232$

Bước 7.2.2.2

Trừ $8232$ khỏi $5145$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 3087$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3087$ .

$- 3087$

Bước 7.3

Tại $x = - \frac{7}{2}$ đạo hàm là $- 3087$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 7, 0)$ .

Giảm trên $(- 7, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 504 {(1)}^{2} + 2352 (1)$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 504 {(1)}^{2} + 2352 (1)$

Bước 8.2.1.2

Nhân $24$ với $1$ .

$f' (1) = 24 + 504 {(1)}^{2} + 2352 (1)$

Bước 8.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 24 + 504 \cdot 1 + 2352 (1)$

Bước 8.2.1.4

Nhân $504$ với $1$ .

$f' (1) = 24 + 504 + 2352 (1)$

Bước 8.2.1.5

Nhân $2352$ với $1$ .

$f' (1) = 24 + 504 + 2352$

Bước 8.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Cộng $24$ và $504$ .

$f' (1) = 528 + 2352$

Bước 8.2.2.2

Cộng $528$ và $2352$ .

$f' (1) = 2880$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2880$ .

$2880$

Bước 8.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $2880$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 14, - 7), (0, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - 14), (- 7, 0)$

Bước 10