Giải tích Ví dụ

$\sin (\frac{x}{2})$

Bước 1

Viết $\sin (\frac{x}{2})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 2.1.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 2.1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Bước 2.1.1.2.4

Nhân $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 2.1.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 2.1.2.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.2.3.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.2.3.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Bước 2.1.2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Bước 2.2.2

Cho tử bằng không.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Bước 2.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Bước 2.2.3.3

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Bước 2.2.3.4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Bước 2.2.3.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Bước 2.2.3.5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Bước 2.2.3.5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (π - 0)$

Bước 2.2.3.5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.5.2.2.1

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = 2 π$

Bước 2.2.3.6

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.2.3.6.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 2.2.3.6.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 2.2.3.6.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 2.2.3.7

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.2.4

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Bước 5.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Bước 5.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Bước 5.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Bước 5.2.1.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Bước 5.2.3

Chia $0$ cho $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Bước 5.2.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f'' (0) = 0$

Bước 5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6