Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 3$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2^{x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Bước 1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Bước 1.5.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Bước 1.5.3

Rút gọn $- 8 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Bước 1.5.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Bước 1.5.5

Nhân $2$ với $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \ln (256) + 6$ và một điểm đã cho $(3, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Bước 2.3.1.3

Khai triển $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Bước 2.3.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Bước 2.3.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Bước 2.3.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1.1

Nhân $- \ln (256) \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1.1.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Bước 2.3.1.4.1.1.2

Rút gọn $3 \ln (256)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Bước 2.3.1.4.1.2

Nâng $256$ lên lũy thừa $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Bước 2.3.1.4.1.3

Nhân $6$ với $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Bước 2.3.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Bước 2.3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Bước 2.3.3

Trừ $18$ khỏi $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Bước 2.3.4

Viết lại phương trình ở dạng $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Bước 2.3.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Trừ $6 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Bước 2.3.5.2

Cộng $17$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Bước 2.3.6

Chia mỗi số hạng trong $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot (x \ln (256))$ ở dạng $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.4

Chia $\ln (16777216)$ cho $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.5

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.6

Viết lại $- 1 \cdot (- 6 x)$ ở dạng $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.7

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Bước 2.3.6.3.1.8

Chia $17$ cho $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Bước 2.3.7

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Bước 2.3.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Bước 2.3.7.3

Đưa $x$ ra ngoài $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Bước 2.3.7.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Bước 2.3.7.5

Sắp xếp lại $x$ và $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Bước 3