Giải tích Ví dụ

${(2 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 1

Viết ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(2 x^{2} - 1)}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(2 x^{2} - 1)}^{2} d x$

Bước 4

Khai triển ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ ở dạng $(2 x^{2} - 1) (2 x^{2} - 1)$ .

$\int (2 x^{2} - 1) (2 x^{2} - 1) d x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2} - 1) - 1 (2 x^{2} - 1) d x$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2} - 1) d x$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.6

Di chuyển $x^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.7

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 x^{2} x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{2 + 2} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.9

Cộng $2$ và $2$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.11

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot - 1 d x$

Bước 4.12

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 1 d x$

Bước 4.13

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $- 2 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 x^{4} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{2} d x + \int d x$

Bước 8

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{2} d x + \int d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Bước 11.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{4 x^{3}}{3} + x + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(2 x^{2} - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + x + C$