Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2.1.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.2.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Bước 1.3.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Bước 1.3.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 1.3.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 1.3.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}$

Bước 1.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}$

Bước 1.3.5.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Bước 1.3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 1.3.5.3

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

Bước 1.3.5.4

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.5.5

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Bước 3.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Bước 3.9

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Bước 3.9.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x) - \cos (x)}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Bước 10

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Bước 12.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Bước 12.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Bước 12.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ .

$- 2 \frac{1}{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}$

Bước 12.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}$

Bước 12.2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Bước 12.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Bước 12.2.5

Viết lại $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Bước 12.2.5.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.2.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Bước 12.2.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{1}}$

Bước 12.2.5.2.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

Bước 12.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Bước 12.4

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Bước 12.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Bước 12.5.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Bước 12.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Bước 12.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Bước 12.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Bước 12.5.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 12.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 12.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Bước 12.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Bước 12.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Bước 12.5.6.5

Tính số mũ.

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 12.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.6.4

Viết lại biểu thức.

$- - \sqrt{2}$

Bước 12.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Bước 12.8

Nhân $\sqrt{2}$ với $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$1.41421356 \dots$