Giải tích Ví dụ

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Bước 1

Viết $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 9$ và $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.3

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.4.2

Nhân $x^{2} - 81$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 81$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.7

Vì $- 81$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 81$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.3.1.2

Nhân $- 2$ với $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.3.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ và có tổng là $b = - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1.1

Đưa $- 18$ ra ngoài $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5.1.2

Viết lại $- 18$ ở dạng $- 9$ cộng $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.5.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Bước 2.1.3.6.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Bước 2.1.3.6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.7.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.2

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.4

Viết lại $- (x + 9)$ ở dạng $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.5

Nâng $x + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.6

Nâng $x + 9$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.7.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.8

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 9)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.1.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ ở dạng ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = x - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.4

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.7.1

Nhân $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ với $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Bước 2.2.4.7.2

Cộng $2 {(x - 9)}^{- 3}$ và $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Bước 2.2.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 3.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 4

Không giá trị nào tìm được có thể làm cho đạo hàm thứ hai bằng $0$ .

Không có điểm uốn