Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 3.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 3.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Bước 3.1.2.4

Nhân $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ vì đạo hàm liên tục trên $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ và khả vi trên $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ liên tục trên $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ và khả vi trên $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 7.2.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 7.2.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Bước 7.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 8

Giải $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Rút gọn $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1.1

Nhân $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Bước 8.2.2.1.1.2

Kết hợp.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 8.2.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Bước 8.2.2.1.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Bước 8.2.2.1.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Bước 8.2.2.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.4.1

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Bước 8.2.2.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Bước 8.2.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Bước 8.2.2.1.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Bước 8.2.2.1.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Bước 8.2.2.1.4.4

Chia $0$ cho $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Bước 8.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Bước 8.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 8.5

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$x = π$

Bước 8.6

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 8.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Bước 8.7.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Bước 8.7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Bước 8.7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.2.1

Rút gọn $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.2.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Bước 8.7.2.2.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Bước 8.7.2.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 8.7.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.2.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 8.7.2.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Bước 8.7.2.2.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$x = 4 π - π$

Bước 8.7.2.2.1.6

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = 3 π$

Bước 8.8

Tìm chu kỳ của $\cos (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.8.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 8.8.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 8.8.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 8.9

Chu kỳ của hàm $\cos (\frac{x}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = π + 2 π n$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = \frac{π}{2}$ và $b = \frac{3 π}{2}$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = π + 2 π n$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = \frac{π}{2}$ và $b = \frac{3 π}{2}$

Bước 10