Giải tích Ví dụ

$x^{2} \sin (x)$

Bước 1

Viết $x^{2} \sin (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} \sin (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Bước 5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Bước 6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Bước 7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Bước 9

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ ở dạng $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Bước 10.2.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$