Giải tích Ví dụ

$2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$

Bước 1

Viết $2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x^{3} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{3} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Bước 7

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Bước 10

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 \int x d x + \int 9 d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Bước 13.1.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Bước 13.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 10 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

$\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$

Bước 13.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$