Giải tích Ví dụ

$y = 3 x \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x \ln (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 1.4.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$3 (1 + \ln (x))$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Bước 1.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + 3 \ln (x)$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \ln (x) + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \ln (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3}{x} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{3}{x}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{x}$