Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[0, π]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 3.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 3.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(0, π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(0, π)$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(0, π)$ vì đạo hàm liên tục trên $(0, π)$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[0, π]$ và khả vi trên $(0, π)$ .

$f (x)$ liên tục trên $[0, π]$ và khả vi trên $(0, π)$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[0, π]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Bước 7.2.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Bước 7.2.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Bước 7.2.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 7.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 8

Giải $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Bước 8.2.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Bước 8.3.1.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Bước 8.3.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Bước 8.3.1.2.2

Cộng $π$ và $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Bước 8.3.1.3

Chia $0$ cho $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 8.4

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Thay thế $- 4 \sin^{2} (x)$ bằng $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 8.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 8.4.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Bước 8.4.2.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 8.4.3

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 8.4.4

Sắp xếp lại đa thức.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Bước 8.4.5

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Bước 8.4.6

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Bước 8.4.6.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Bước 8.4.6.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Bước 8.4.6.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Bước 8.4.6.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Bước 8.4.6.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.6.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.6.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.6.2.1.1.1

Nhân với $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Bước 8.4.6.2.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Bước 8.4.6.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Bước 8.4.6.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.6.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Bước 8.4.6.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Bước 8.4.6.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Bước 8.4.6.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Bước 8.4.7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 8.4.8

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.8.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 8.4.8.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.8.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 8.4.8.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.8.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 8.4.8.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.8.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 8.4.8.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 8.4.9

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.9.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 8.4.9.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 8.4.10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 8.4.11

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Bước 8.4.12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Bước 8.4.13

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.13.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 8.4.13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.13.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 8.4.13.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 8.4.13.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.13.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 8.4.13.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.13.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 8.4.13.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 8.4.13.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.13.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 8.4.13.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 8.4.13.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.4.13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 8.4.13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 8.4.13.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 8.4.13.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.4.14

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.14.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- 1)$

Bước 8.4.14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.14.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 8.4.14.3

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 8.4.14.4

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 8.4.14.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.4.14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 8.4.14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 8.4.14.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 8.4.14.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.4.15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8.4.16

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 0$ và $b = π$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 0$ và $b = π$

Bước 10