Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{\sqrt[3]{t}}{t - 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = \sqrt[3]{t}$ và $g (t) = t - 3$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 11

Vì $- 3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + 0)}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 12

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.2

Di chuyển $t^{\frac{2}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.3

Nhân $t$ với $t^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Nhân $t$ với $t^{- \frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.3.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.5

Viết lại $- 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng $- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.2

Kết hợp.

$\frac{3 (\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.6

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.3.8

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Để viết $t^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Nhân $t^{\frac{1}{3}}$ với $t^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{t^{\frac{1 + 2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.3.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.3.1.4

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{\frac{t^{1} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.3.2

Rút gọn $t^{1}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.4

Để viết $- 3 \sqrt[3]{t}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.5

Kết hợp $- 3 \sqrt[3]{t}$ và $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.7.1

Nhân $- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.7.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.1.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.7.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{1}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.2

Rút gọn.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.4.7.3

Trừ $3 t$ khỏi $t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.6

Nhân $\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}$ với $\frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}} (3 {(t - 3)}^{2})}$

Bước 13.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{3 \cdot t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.9

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.11

Viết lại $- (2 t + 3)$ ở dạng $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Bước 13.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 t + 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$