Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Bước 2.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $\cos (x) e^{x}$ và $e^{x} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $e^{x}$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Bước 2.4.1.2

Cộng $e^{x} \cos (x)$ và $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Bước 2.4.3

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Bước 2.4.4

Cộng $- e^{x} \sin (x)$ và $e^{x} \sin (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

Bước 2.4.5

Cộng $2 e^{x} \cos (x)$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.2

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Bước 3.5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Bước 3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$