Giải tích Ví dụ

$y = x {(2 x + 3)}^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(2 x + 3)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{5}] + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = 2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.6.2

Nhân $2$ với $5$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \cdot 1$

Bước 1.3.8

Nhân ${(2 x + 3)}^{5}$ với $1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa ${(2 x + 3)}^{4}$ ra ngoài $x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Đưa ${(2 x + 3)}^{4}$ ra ngoài $x (10 {(2 x + 3)}^{4})$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{5}$

Bước 1.4.1.2

Đưa ${(2 x + 3)}^{4}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{5}$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$

Bước 1.4.1.3

Đưa ${(2 x + 3)}^{4}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10) + 2 x + 3)$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x$ .

${(2 x + 3)}^{4} (10 \cdot x + 2 x + 3)$

Bước 1.4.2.2

Cộng $10 x$ và $2 x$ .

$f' (x) = {(2 x + 3)}^{4} (12 x + 3)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(2 x + 3)}^{4}$ và $g (x) = 12 x + 3$ .

${(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [12 x + 3] + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2.2

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2.4

Nhân $12$ với $1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + 0) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Cộng $12$ và $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} \cdot 12 + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.2.6.2

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$12 \cdot {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $12 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 \cdot (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 2.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.4.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.4.5

Nhân $2$ với $1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.4.6

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Bước 2.4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Bước 2.4.7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 8 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (8 (12 x) + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Bước 2.5.2

Nhân $12$ với $8$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Bước 2.5.3

Nhân $8$ với $3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Bước 2.5.4

Đưa ${(2 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Đưa ${(2 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $12 {(2 x + 3)}^{4}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Bước 2.5.4.2

Đưa ${(2 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $(96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$

Bước 2.5.4.3

Đưa ${(2 x + 3)}^{3}$ ra ngoài ${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$ .

$f'' (x) = {(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3) + 96 x + 24)$