Giải tích Ví dụ

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.3.3

Nhân ${(x + 4)}^{2}$ với $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.5.2

Đưa $x + 4$ ra ngoài ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đưa $x + 4$ ra ngoài ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.5.2.2

Đưa $x + 4$ ra ngoài $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.5.2.3

Đưa $x + 4$ ra ngoài $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $x + 4$ ra ngoài ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.6.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.9

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.10.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.10.3

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.10.4

Kết hợp $4$ và $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.2.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.5

Viết lại $4$ ở dạng $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.7

Viết lại $- (x - 4)$ ở dạng $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 2.11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 3.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.3.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.3.5.2

Nhân ${(x + 4)}^{3}$ với $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.5.2

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.5.2.2

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.5.2.3

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Bước 3.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa ${(x + 4)}^{2}$ ra ngoài ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.9

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.10.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.10.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.10.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{4 x + 4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.3.1.2

Nhân $- 3$ với $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.3.1.3

Nhân $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1.3.1

Nhân $- 3$ với $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.3.1.3.2

Nhân $4$ với $12$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.3.2

Trừ $12 x$ khỏi $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 16 + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.3.3

Cộng $16$ và $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.4

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x + 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.4.2

Đưa $8$ ra ngoài $64$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 8 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.4.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (- x) + 8 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.6

Viết lại $8$ ở dạng $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.8

Viết lại $- (x - 8)$ ở dạng $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 3.11.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Bước 3.11.11

Nhân $\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Bước 5.1.2

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 5.1.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.3.3

Nhân ${(x + 4)}^{2}$ với $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.5.2

Đưa $x + 4$ ra ngoài ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.2.1

Đưa $x + 4$ ra ngoài ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.5.2.2

Đưa $x + 4$ ra ngoài $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.5.2.3

Đưa $x + 4$ ra ngoài $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Bước 5.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Đưa $x + 4$ ra ngoài ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.9

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.10.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.10.3

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.10.4

Kết hợp $4$ và $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.2.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.11.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.5

Viết lại $4$ ở dạng $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.7

Viết lại $- (x - 4)$ ở dạng $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.1.11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Bước 6.2

Cho tử bằng không.

$4 (x - 4) = 0$

Bước 6.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 (x - 4) = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 (x - 4) = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 6.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 6.3.1.2.1.2

Chia $x - 4$ cho $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Bước 6.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x - 4 = 0$

Bước 6.3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Bước 7.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đặt $x + 4$ bằng $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 7.2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 4$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 4$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{8 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8^{4}}$

Bước 10.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{4096}$

Bước 10.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $8$ với $- 4$ .

$\frac{- 32}{4096}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $4096$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $32$ ra ngoài $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{4096}$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Đưa $32$ ra ngoài $4096$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Bước 10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Bước 10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{128}$

Bước 10.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{128}$

Bước 11

$x = 4$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 4$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $4$ với $4$ .

$f (4) = \frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Bước 12.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Cộng $4$ và $4$ .

$f (4) = \frac{16}{8^{2}}$

Bước 12.2.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$f (4) = \frac{16}{64}$

Bước 12.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$f (4) = \frac{16 (1)}{64}$

Bước 12.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $64$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Bước 12.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Bước 12.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (4) = \frac{1}{4}$

Bước 12.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Bước 13

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{4})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 14