Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ , $a = 81$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 81$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (81) + f' (81) (x - 81)$

Bước 3

Tính $f (81)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $81$ trong biểu thức.

$f (81) = {(81)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 3.2

Rút gọn ${(81)}^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

${(81)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $81$ ở dạng $3^{4}$ .

${(3^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{4 (\frac{3}{4})}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3^{4 (\frac{3}{4})}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$3^{3}$

Bước 3.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Bước 4.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 4.1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Bước 4.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Bước 4.1.5.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Bước 4.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Bước 4.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Bước 4.1.7.2

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $81$ trong biểu thức.

$\frac{3}{4 {(81)}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại $81$ ở dạng $3^{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot {(3^{4})}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 4.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3^{4 (\frac{1}{4})}}$

Bước 4.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4 \cdot 3^{4 (\frac{1}{4})}}$

Bước 4.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4 \cdot 3^{1}}$

Bước 4.3.1.4

Tính số mũ.

$\frac{3}{4 \cdot 3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{3}{12}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{12}$

Bước 4.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = 27 + \frac{1}{4} (x - 81)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$L (x) = 27 + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 81$

Bước 6.1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$L (x) = 27 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 81$

Bước 6.1.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 81$ .

$L (x) = 27 + \frac{x}{4} + \frac{- 81}{4}$

Bước 6.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$L (x) = 27 + \frac{x}{4} - \frac{81}{4}$

Bước 6.2

Để viết $27$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Bước 6.3

Kết hợp $27$ và $\frac{4}{4}$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Bước 6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{27 \cdot 4 - 81}{4}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $27$ với $4$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{108 - 81}{4}$

Bước 6.5.2

Trừ $81$ khỏi $108$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{27}{4}$

Bước 7