Giải tích Ví dụ

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $r^{2} \cos (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Bước 1.1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Bước 1.1.2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Bước 1.1.2.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Bước 1.1.3

Viết lại $- 1 r^{2}$ ở dạng $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Bước 2

Vì $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , nên thay $\cos (θ)$ bằng $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Bước 3

Vì $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , nên thay $r^{2}$ bằng $x^{2} + y^{2}$ và $r$ bằng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4

Viết ở dạng chính tắc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.2

Nhân $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.3.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.2

Nâng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.3

Nâng $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.3.6.5

Rút gọn.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.5

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.5.5

Rút gọn.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2} + y^{2}$ và ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.6.1

Đưa $x^{2} + y^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.6.2.1

Đưa $x^{2} + y^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.7

Nhân $2 x^{2} + 2 y^{2}$ với $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.8

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.8.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.9.2

Chia $2 x^{2}$ cho $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Bước 4.1.1.1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Bước 4.1.1.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Bước 4.1.2

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Bước 4.1.3

Chia mỗi số hạng trong $- y^{2} = 1 - x^{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- y^{2} = 1 - x^{2}$ cho $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 4.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 4.1.3.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 4.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 4.1.3.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Bước 4.1.3.3.1.3

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Bước 4.1.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Bước 4.1.5

Rút gọn $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Bước 4.1.5.1.2

Sắp xếp lại $- 1^{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 4.1.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.1.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.1.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.1.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.2

Để viết một đa thức ở dạng chính tắc, rút gọn và sau đó sắp xếp các số hạng theo thứ tự giảm dần.

$y = a x^{2} + b x + c$

Bước 4.3

Dạng chính tắc là $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 5