Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{5}{3}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{3}$ .

$7 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$7 (\frac{5}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{5}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{5}{3} {(x - 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (\frac{5}{3} {(x - 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$7 (\frac{5}{3} {(x - 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.6.2

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$7 (\frac{5}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$7 (\frac{5 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.7.2

Kết hợp $\frac{5 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ và $7$ .

$\frac{5 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 7}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 1.1.7.3

Nhân $7$ với $5$ .

$\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 1.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 1.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 1.1.10

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Bước 1.1.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Bước 1.1.11.2

Nhân $\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{35}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{35 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{35}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{35}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$\frac{35}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.7.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.7.3

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{35}{3} (\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.2.7.4

Nhân $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{35}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 35}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 1.2.7.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.5.1

Nhân $2$ với $35$ .

$\frac{70}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 1.2.7.5.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 1.2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 1.2.10

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Bước 1.2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Bước 1.2.11.2

Nhân $\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{70}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$70 = 0$

Bước 2.3

Vì $70 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không giá trị nào tìm được có thể làm cho đạo hàm thứ hai bằng $0$ .

Không có điểm uốn