Giải tích Ví dụ

$\cos (\sqrt{x})$

Bước 1

Viết $\cos (\sqrt{x})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \cos (\sqrt{x})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \cos (\sqrt{x}) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \sqrt{x}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

$\int 2 u \cos (u) d u$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int u \cos (u) d u$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = \cos (u)$ .

$2 (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Bước 7

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Bước 8

Viết lại $2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ ở dạng $2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos (\sqrt{x})$ .

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$