Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.5.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Bước 1.3.1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0)}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Bước 1.3.3.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.4.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Bước 3.5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sin (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Bước 3.6

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \cos (x)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Bước 7

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (0)}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \sin (0)}{\cos (0)}$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 0}{\cos (0)}$

Bước 11.1.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Bước 11.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Bước 11.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 11.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$