Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} + 9 e^{x}$ , $(0, 9)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = 9$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 9 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 e^{x}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 9 e^{x}$

Bước 1.3

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 9 e^{0}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 \cdot 0 + 9 e^{0}$

Bước 1.4.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + 9 e^{0}$

Bước 1.4.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 9 \cdot 1$

Bước 1.4.1.4

Nhân $9$ với $1$ .

$0 + 9$

Bước 1.4.2

Cộng $0$ và $9$ .

$9$

Bước 2

Pháp tuyến là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến. Lấy nghịch đảo âm của hệ số góc của tiếp tuyến để tìm hệ số góc của pháp tuyến.

$- \frac{1}{9}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{1}{9}$ và một điểm đã cho $(0, 9)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - \frac{1}{9} \cdot (x - (0))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $- \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot x$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{9}$ .

$y - 9 = - \frac{x}{9}$

Bước 3.3.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{x}{9} + 9$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{1}{9} x) + 9$

Bước 3.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{1}{9} x + 9$

Bước 4