Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.1.2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.4.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.4.5.2

Nhân ${(x - 2)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1

Đưa ${(x - 2)}^{2} x$ ra ngoài $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1.1

Đưa ${(x - 2)}^{2} x$ ra ngoài $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.1.1.2

Đưa ${(x - 2)}^{2} x$ ra ngoài $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.1.1.3

Đưa ${(x - 2)}^{2} x$ ra ngoài ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.1.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.1.4

Trừ $3 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x - 2)}^{2}$ và ${(x - 2)}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.1

Đưa ${(x - 2)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Bước 2.1.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.2.2.1

Đưa ${(x - 2)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.6

Viết lại $- (x + 4)$ ở dạng $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.1.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$x (x + 4) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Bước 3.3.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.3.3

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 3.3.3.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 3.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x + 4) = 0$ đúng.

$x = 0, - 4$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, - 4$ .

$0, - 4$

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Bước 5.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 5.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 6

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 4)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $- 5$ và $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Bước 7.2.2.2

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Bước 7.2.3

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Bước 7.3

Tại $x = - 5$ đạo hàm là $- \frac{5}{2401}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 4)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 4)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(- 4, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $- 2$ và $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Bước 8.2.2.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Bước 8.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $256$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Bước 8.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Bước 8.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Bước 8.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Bước 8.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $\frac{1}{64}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 4, 0)$ .

Tăng trên $(- 4, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 2)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $1 + 4$ với $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Bước 9.2.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Bước 9.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Cộng $1$ và $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Bước 9.2.3.2

Chia $5$ cho $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Bước 9.2.3.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (1) = - 5$

Bước 9.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 5$ .

$- 5$

Bước 9.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 5$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 2)$ .

Giảm trên $(0, 2)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 10

Thay một giá trị từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $3$ và $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Bước 10.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Bước 10.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Bước 10.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân $3$ với $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Bước 10.2.3.2

Chia $21$ cho $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Bước 10.2.3.3

Nhân $- 1$ với $21$ .

$f' (3) = - 21$

Bước 10.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 21$ .

$- 21$

Bước 10.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- 21$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(2, \infty)$ .

Giảm trên $(2, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 11

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 4, 0)$

Giảm trên: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Bước 12