Giải tích Ví dụ

$2 x - 2 \cos (x)$

Bước 1

Viết $2 x - 2 \cos (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Bước 3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (x) = - 2$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = - 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = - 2$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $- 2$ cho $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Bước 3.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 3.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 3.6

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 3.7.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.8

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.8.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.8.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.9

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 3.9.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.9.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.9.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 3.9.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 3.9.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.10

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.11

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Bước 6.4

Tại $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ đạo hàm là $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Bước 7.4

Tại $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ đạo hàm là $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Bước 9