Giải tích Ví dụ

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ bằng $2 y$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $x$ trong $y^{2} = 2 x$ bằng $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ trong $y^{2} = 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2} - 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.4

Đặt $y$ bằng với $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.5

Đặt $y - 4$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $y - 4$ bằng với $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Bước 1.2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $y (y - 4) = 0$ đúng.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ bằng $0$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ trong $x = 2 y$ bằng $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Bước 1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ bằng $4$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $y$ trong $x = 2 y$ bằng $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Bước 2

Giải $y^{2} = 2 x$ theo $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = y^{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = y^{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Bước 2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Bước 4.2

Nhân $- 1$ với $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4.4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Bước 4.8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Bước 4.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Bước 4.10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Tính $\frac{y^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Bước 4.10.2

Tính $\frac{1}{3} y^{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.6

Cộng $8$ và $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.7

Nhân $2$ với $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.10.3.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Bước 4.10.3.11

Nhân $0$ với $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Bước 4.10.3.12

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Bước 4.10.3.13

Cộng $\frac{64}{3}$ và $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Bước 4.10.3.14

Nhân $\frac{64}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Bước 4.10.3.15

Nhân $3$ với $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Bước 4.10.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $64$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Bước 4.10.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Bước 4.10.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Bước 4.10.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 - \frac{32}{3}$

Bước 4.10.3.17

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Bước 4.10.3.18

Kết hợp $16$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Bước 4.10.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Bước 4.10.3.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.3.20.1

Nhân $16$ với $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Bước 4.10.3.20.2

Trừ $32$ khỏi $48$ .

$\frac{16}{3}$

Bước 5