Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 e^{x} \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (e^{x} (- \sin (x))) + 8 (\cos (x) e^{x})$

Bước 1.5.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 8 \cos (x) e^{x}$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 8 e^{x} \sin (x) + 8 e^{x} \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 8 e^{x} \sin (x) + 8 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 8 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Bước 2.2.2

$- 8 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Bước 2.3.2

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 8 (e^{x} \cos (x)) - 8 (\sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 2.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 8 (e^{x} \cos (x)) - 8 (\sin (x) e^{x}) + 8 (e^{x} (- \sin (x))) + 8 (\cos (x) e^{x})$

Bước 2.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 e^{x} \cos (x) - 8 \sin (x) e^{x} - 8 (e^{x} (\sin (x))) + 8 (\cos (x) e^{x})$

Bước 2.4.3.2

Trừ $8 e^{x} \sin (x)$ khỏi $- 8 \sin (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \cos (x) - 8 e^{x} \sin (x) - 8 e^{x} \sin (x) + 8 \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4.3.2.2

Trừ $8 e^{x} \sin (x)$ khỏi $- 8 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \cos (x) - 16 e^{x} \sin (x) + 8 \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4.3.3

Cộng $- 8 e^{x} \cos (x)$ và $8 \cos (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$- 16 e^{x} \sin (x) - 8 e^{x} \cos (x) + 8 e^{x} \cos (x)$

Bước 2.4.3.3.2

Cộng $- 8 e^{x} \cos (x)$ và $8 e^{x} \cos (x)$ .

$- 16 e^{x} \sin (x) + 0$

Bước 2.4.3.4

Cộng $- 16 e^{x} \sin (x)$ và $0$ .

$f'' (x) = - 16 e^{x} \sin (x)$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 16 e^{x} \sin (x)$ .

$- 16 e^{x} \sin (x)$